Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖．
（1）若BD是AC的中線，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，求的值；
（3）結合（1）、（2），試推斷的取值范圍（直接寫出結論，不必證明），并探究的
值能小于嗎？若能，求出滿足條件的D點的位置；若不能，說明理由

Answer 1

解法1 設AB =" AC" = 1，CD = x，則0＜x＜1，BC =，AD = 1－x．
在Rt△ABD中，BD² = AB² + AD² =" 1" +（1－x）² = x²－2x + 2．
由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴，即，從而，
∴，0＜x＜1，
（1）若BD是AC的中線，則CD =" AD" =" x" =，得．
（2）若BD是∠ABC的角平分線，則，得，解得，
∴．
（3）若，則有 3x²－10x + 6 = 0，解得∈（0，1），
∴，表明隨著點D從A向C移動時，BD逐漸增大，而CE逐漸減小，的值則隨著D從A向C移動而逐漸增大．
解法2 設AB =" AC" = 1，∠ABD = a，則 BC =，∠CBE = 45°－a．
在Rt△ABD中，有；
在Rt△BCE中，有 CE =" BC·" sin∠CBE =sin（45°－a）．[來源:Z+xx+k.Com]
因此．下略……
解法3 （1）∵∠A =∠E = 90°，∠ADB =∠CDE，∴△ADB∽△EDC，∴．
由于D是中點，且AB = AC，知AB =" 2" AD，于是 CE =" 2" DE．
在Rt△ADB中，BD =．
在Rt△CDE中，由 CE² + DE² = CD²，有 CE² +CE² = CD²，于是．
而 AD = CD，所以．
（2）如圖，延長CE、BA相交于點F．∵BE是∠ABC的平分線，且BE⊥CF，∴△CBE≌△FBE，得 CE = EF，于是CF =" 2" CE．又∠ABD +∠ADB =∠CDE +∠FCA = 90°，且∠ADB =∠CDE，
∴∠ABD =∠FCA，進而有△ABD≌△ACF，得 BD =" 2" CE，．
（3）的值的取值范圍為≥1．下略……

解析