Question

【題目】如圖，△ABC中，D是AB上一點，DE⊥AC于點E，F是AD的中點，FG⊥BC于點G，與DE交于點H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，連接GE，GD.

(1)求證：△ECG≌△GHD；

(2)小亮同學經過探究發現：AD＝AC＋EC.請你幫助小亮同學證明這一結論；

(3)若∠B＝30°，判斷四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)四邊形AEGF是菱形，理由見解析.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質及角平分線的定義可得∠CAG＝∠FGA，即可證得AC∥FG；已知DE⊥AC，由此可得FG⊥DE，再由FG⊥BC可得 DE∥BC，所以AC⊥BC，從而得∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED；因為F是AD的中點，FG∥AE，可得H是ED的中點，所以FG是線段ED的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可得GE＝GD，所以∠GDE＝∠GED，即可得∠CGE＝∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（2）過點G作GP⊥AB于點P，易證△CAG≌△PAG，根據全等三角形的性質可得AC＝AP，GC＝GP；再證明Rt△ECG≌Rt△DPG，即可得EC＝DP，由此即可證得結論；（3）四邊形AEGF是菱形，根據已知條件易證AE＝AF＝FG，再由AE∥FG，即可判定四邊形AEGF是菱形．

(1)證明：∵AF＝FG，

∴∠FAG＝∠FGA，

∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG，

∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG.

∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，

∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，

∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，

∵F是AD的中點，FG∥AE，

∴H是ED的中點，

∴FG是線段ED的垂直平分線，

∴GE＝GD，∴∠GDE＝∠GED，

∴∠CGE＝∠GDE，

∴△ECG≌△GHD.

(2)證明：過點G作GP⊥AB于點P，如圖．

∴GC＝GP，∴△CAG≌△PAG，

∴AC＝AP，GC＝GP.

由(1)得GE＝GD，

∴Rt△ECG≌Rt△DPG，

∴EC＝DP，

∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.

(3)解：四邊形AEGF是菱形，理由如下：

∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°，

∴AE＝AD，∴AE＝AF＝FG，

由(1)得AE∥FG，

∴四邊形AEGF是菱形．