Question

已知：如圖，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點F，且交⊙O于點E，若∠AEC=∠ODB．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）當AB=10，BC=8時，求BD的長．

Answer 1

（1）證明：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
又∵OD⊥BC
∴AC∥OE
∴∠CAB=∠EOB
由對的圓周角相等
∴∠AEC=∠ABC
又∵∠AEC=∠ODB
∴∠ODB=∠OBC
∴△DBF∽△OBD
∴∠OBD=90°
即BD⊥AB
又∵AB是直徑
∴BD是⊙O的切線．

（2）解：∵OD⊥弦BC于點F，且點O圓心，
∴BF=FC
∴BF=4
由題意OB是半徑即為5
∴在直角三角形OBF中OF為3
由以上（1）得到△DBF∽△OBD
∴
即得BD=．
分析：從切線的判定為目標，來求BD⊥AB，連接AC通過相似來證得；通過已知條件和第一步求得的三角形相似求得BD的長度．
點評：本題考查了切線的判定及其應用，通過三角形相似求得，本題思路很好，是一道不錯的題．