Question

已知 關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求證：無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；
（2）當Rt△ABC的斜邊長a=，且兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根時，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△＞0即可證明無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；
（2）根據勾股定理及根與系數的關系列出關于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．
解答：解：（1）關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0，
△=（2k+1）²-4（4k-3）=4k²-12k+13=4+4＞0恒成立，
故無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）根據勾股定理得：b²+c²=a²=31①
因為兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根，
則b+c=2k+1②，bc=4k-3③，
因為（b+c）²-2bc=b²+c²=31，
即（2k+1）²-2（4k-3）=31，
整理得：4k²+4k+1-8k+6-31=0，即k²-k-6=0，
解得：k₁=3或k₂=-2（舍去），
則b+c=2k+1=7，
又因為a=，
則△ABC的周長=a+b+c=+7．
點評：本題考查了根與系數的關系和根的判別式及勾股定理，難度較大，關鍵是巧妙運用△＞0恒成立證明（1），再根據勾股定理和根與系數的關系列出方程組進行解答．