Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若AB=3cm，BC=5cm，E在AB上且AE=1cm，點P從B點出發，以1cm/s的速度沿BC→CA運動至A點停止，設運動的時間為ts，當t=

2或

12

5

或

5

3

或9-

3

，△BEP為等腰三角形．

Answer 1

分析：由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若AB=3cm，BC=5cm，E在AB上且AE=1cm，即可求得BC與BE的長，然后分別（1）當P在BC上時，當BP=BE或BE=PE或BP=EP時與（2）當P在CA上時，去分析求解，利用相似三角形的性質與勾股定理，即可求得答案．

解答：解：∵AB=3cm，AE=1cm，
∴BE=AB-AE=2（cm），
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，BC=5cm，
∴AC=

BC2-AB2

=4（cm），
（1）當P在BC上時，
①當BP=BE=2cm時，t=2，△BEP為等腰三角形；
②如圖1：當BE=PE時，過點E作EF⊥BC于F，
∴BF=PF，∠BFE=∠A=90°，
∵∠B是公共角，
∴△BEF∽△BCA，
∴BE：BC=BF：AB，
∴2：5=BF：3，
∴BF=

6

5

cm，
∴BP=2BF=

12

5

（cm），
此時t=

12

5

；
③如圖2：當BP=EP時，過點P作PF⊥BE于F，
∴BF=EF=

1

2

BE=1（cm），
∵∠PFB=∠A=90°，∠B是公共角，
∴△PBF∽△CBA，
∴BF：BA=BP：BC，
即1：3=BP：5，
∴BP=

5

3

cm，此時t=

5

3

；
（2）如圖3：當P在CA上時，
∵∠A=90°，
∴BP＞AB＞BE，BP²=AB²+AP²，PE²=AE²+AP²，
∴BP＞PE，
∴當BE=PE=2cm時，△BEP為等腰三角形，
在Rt△AEP中，AP=

PE2-AE2

=

3

（cm），
∴t=BC+AC-AP=5+4-

3

=9-

3

（cm）．
綜上可得：當t=2或

12

5

或

5

3

或9-

3

時，△BEP為等腰三角形．
故答案為：2或

12

5

或

5

3

或9-

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理以及等腰三角形的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用，注意掌握輔助線的作法，小心別漏解．