Question

如圖，在△ABC中AB的垂直平分線DE與AC相交于點E，與AB相交于點D，∠AED=30°，AG平分∠BAC交DE于點G，AD=4cm，連接BE，下列說法中不正確的是（　　）

A．DG=2cm

B．BE=8cm

C．AE=BE

D．AG=FG

Answer 1

分析：根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE=8cm，根據直角三角形兩銳角互余求出∠DAE=60°，再根據角平分線的定義求出∠EAG=30°，然后求出∠EAG=∠AEG，根據等角對等邊可得AG=EG，設DG=x，先表示出DE，再表示出AG=GE，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，故C選項錯誤；
∵∠AED=30°，AD=4cm，
∴AE=2AD=2×4=8cm，
∴BE=8cm，故B選項錯誤；
又∵∠DAE=90°-∠AED=90°-30°=60°，AG平分∠BAC，
∴∠EAG=

1

2

∠DAE=

1

2

×60°=30°，
∴∠EAG=∠AEG，
∴AG=EG，故D選項錯誤；
設DG=x，
在Rt△ADE中，DE=

AE2-AD2

=

82-42

=4

3

cm，
∴AG=GE=4

3

-x，
在Rt△ADG中，AD²+DG²=AG²，
即4²+x²=（4

3

-x）²，
解得x=

4 3

3

，
即DG=

4 3

3

cm，故A選項正確．
故選A．

點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，直角三角形兩銳角互余，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理的應用，綜合題，但難度不大．