Question

在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，將一直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC或其延長線上交于D、E兩點（假設三角板的兩直角邊足夠長），如圖（1）、圖（2）表示三角板旋轉過程中的兩種情形．
（1）直角三角板繞點P旋轉過程中，當BE=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△PEC是等腰三角形，分類進行討論即可；
（2）連接BP，首先根據題干條件證明出∠BPD=∠CPE，然后證明△DPB≌△EPC，于是證明出PD=PE；
（3）過M分別作AB、BC的垂線，垂足分別為G、H，首先根據角之間的關系求出∠GMD=∠HME，進而證明出△MGD∽△MHE，根據相似三角形對應邊成比例，得到，再求出GM、HM關于m、n的表達式，三式結合求出MD、ME之間的比例關系．
解答：（1）解：當BE=0時，即點B和點E重合，故可知△PEC是等腰三角形，
當BE=2時，即E是BC的中點，可得△PEC是等腰三角形
由題干條件知PC=2，當CP=CE時△PEC是等腰三角形，BE=4-2； 
當E在BC的延長線上時，CE=CP，△PEC是等腰三角形，BE=4+2；
故答案為0、2或4±2．   

（2）證明：連接BP．
∵AB=BC 且∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
又∵P是AC中點，
∴BP⊥AC，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，
∴∠CPE+∠EPB=90°，
∵DP⊥PE，
∴∠BPD+∠EPB=90°，
∴∠BPD=∠CPE，
在△DPB和△EPC中
∵，
∴△DPB≌△EPC，
∴PD=PE，

（3）解：MD、ME的數量關系是：，
理由如下：
過M分別作AB、BC的垂線，垂足分別為G、H．
由作圖知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠B=90°，
∴∠GMH=90°，
∴∠GMD+∠DMH=90°，
∵∠DMH+∠HME=90°，
∴∠GMD=∠HME
∴△MGD∽△MHE，
∴①，
∵，
∴，
∵∠MGA=∠B=90°，
∴GM∥BC，
∴即②
同理 ，
∵AB=BC，
∴③
②③代入①得．
點評：本題主要考查相似綜合題得知識點，解答本題的關鍵是熟練運用相似三角形的判定與性質定理，此題難度較大．