Question

（2008•鄂爾多斯）如圖，把矩形ABCD沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE與CD交于點O，連接DE．
（1）四邊形ACED是什么圖形？說明理由；
（2）若AB=4cm，AD=3cm，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明等腰梯形，可看題中給的什么條件更多，在本題中，可通過證三角形全等，得出對角線之間的等量關系，因此可利用同一底上兩底角相等的梯形為等腰梯形進行論證．
（2）利用（1）中的結論，結合勾股定理，可列方程求解．
解答：解：解法一：
（1）四邊形ACED是等腰梯形（1分）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=90°，DC=AB，
∴△ADC≌△CBA（SAS），
由折疊可知：△ACE≌△ACB，
∴△ACE≌△ACB≌△CAD；
∴∠1=∠2，AD=CE，CD=AE（1分）
∴OA=OC，
∴OE=OD，
∴∠3=∠4（1分）
而∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠3=∠2，
∴DE∥AC；
∵在Rt△ACE中，∠1+∠ACE=90°；
在Rt△ACD中，∠2+∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠ACE＜180°，
∴CE與AD不平行；
∴四邊形ACED是等腰梯形；（1分）

（2）在Rt△OEC中，設EO=x，則x²+3²=（4-x）²（1分）
∴x=，（1分）
由△ODE∽△OCA，得=，（1分）
∴DE=cm．（1分）

解法二：
（1）四邊形ACED是等腰梯形
證明：過點D、E作AC的垂線，垂足分別是G、H，則DG∥EH；
∵△ACE≌△ACB≌△CAD，
∴∠ECA=∠DAC，AD=CE；
∴Rt△ADG≌Rt△CEH，
∴DG=EH，
∴四邊形DGHE是矩形，
∴DEGH，
∴DE≠AC，
∴四邊形ACED是等腰梯形；
（2）∵DC=AB=4cm，AD=3cm，∴AC=5cm，
在Rt△ADC中，∵DG•AC=AD•DC，即5DG=3×4，
∴DG=；
∴AG===，
∴DE=GH=AC-2AG=5-2×=cm．

解法三：（延長AD，CE相交于點P，利用全等，勾股定理，相似等解答，類似于解法一，略）
點評：此題主要考查了等腰梯形的判定，相似三角形的判定和運用以及勾股定理的應用，難易程度適中．