Question

如圖，在直角坐標系中，已知點P的坐標為（1，0），進行如下操作：將線段OP按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂，如此重復操作下去，得到線段OP₃，OP₄，…，則：
（1）點P₅的坐標為    ；
（2）落在x軸正半軸上的點P_n坐標是    ，其中n滿足的條件是n=8k（k=0，1，2…的整數）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于點P的坐標為（1，0），將線段OP按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP₁=2，那么P₁的坐標為（，），又將線段OP₁按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂=4，那么P₂的坐標為（0，4），由此類推P₃的坐標為（-4，4），P₄的坐標為（16，0），P₅的坐標為（-16，-16）；
（2）如果通過旋轉最后落在x軸正半軸上，由于每次旋轉45°，所以可以求出需要360°÷45°=8次才能落在x軸正半軸上，并且每旋轉一次OP擴大一倍，那么旋轉到點P_n的坐標可以求出了．
解答：解：（1）∵點P的坐標為（1，0），
而將線段OP按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP的2倍，
∴線段OP₁=2，
∴P₁的坐標為（，），
又將線段OP₁按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP₁的2倍，
∴線段OP₂=4，
∴P₂的坐標為（0，4），
由此類推P₃的坐標為（-4，4），P₄的坐標為（16，0），P₅的坐標為（-16，-16）；

（2）∵通過旋轉最后落在x軸正半軸上，而每次旋轉45°，
∴需要旋轉360°÷45°=8次才能落在x軸正半軸上，
并且每旋轉一次OP擴大一倍，
∴OP_n=2ⁿ，
∴旋轉到點P_n的坐標為（2ⁿ，0），其中n滿足的條件是n=8k（k=0，1，2…的整數）．
點評：本題涉及圖形變換--旋轉，體現了新課標的精神，抓住旋轉的三要素：旋轉中心，旋轉方向逆時針，旋轉角度45°，通過畫圖確定各點．