Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，弦CF⊥AB于E，C是

AD

的中點，連接BD，連接AD，分別交CE、BC于點P、Q．
（1）求證：P是AQ的中點；
（2）若tan∠ABC=

3

4

，CF=8，求CQ的長．

Answer 1

分析：（1）由題意推出∠AQC=∠PCQ，即可得PC=PQ，由

AC

=

AE

，

AF

= 

CD

，推出∠CAD=∠ACE，即可得PA=PC，即可推出P是AQ的中點；
（2）根據已知首先推出BE的長度，然后即可得BC的長度，在Rt△ACB中，由tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，求出AC的長度，求證Rt△ACB∽Rt△QCA后，即可得CQ的長度．

解答：（1）證明：∵C是

AD

的中點，
∴

AC

=

CD

，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ=90°，
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥AB，
∴

AC

=

AF

∴

AF

=

CD

∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是AQ的中點．

（2）解：∵CE⊥AB于E，
∴在Rt△BCE中，由tan∠ABC=

CE

BE

=

3

4

，
∵CF=8，
∴CE=4，
得：BE=

4

3

CE=

16

3

，
∴由勾股定理，得BC=

CE2+BE2

=

20

3

，
∵AB是⊙O的直徑，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，BC=

20

3

，
得AC=

3

4

BC=5．
∵AB為直徑，∠CBA=∠CAQ，
∴Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC²=CQ•BC
∴CQ=

AC2

BC

=

15

4

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、勾股定理、圓周角定理、解直角三角形，關鍵在于（1）∠CAD=∠ABC，∠CAD=∠ACE，（2）根據正切值求出BE、BC的長度，然后Rt△ACB∽Rt△QCA，求出CQ的長度．