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在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的動點(不與A、B重合),過M作MN∥BC交AC于點N,以MN為直徑作⊙O,設AM=x.
(1)用含x的代數式表示△AMN的面積S;
(2)M在AB上運動,當⊙O與BC相切時(如圖①),求x的值;
(3)M在AB上運動,當⊙O與BC相交時(如圖②),在⊙O上取一點P,使PM∥AC,連接PN,PM交BC于E,PN交BC于點F,設梯形MNFE的面積為y,求y關于x的函數關系式.

【答案】分析:(1)由已知條件證明△AMN∽△ABC(AA),然后根據相似三角形的對應邊成比例求得,然后由三角形的面積公式求得用x的代數式表示的△AMN的面積S;
(2)設BC與⊙O相切于點D,連接AO、OD,則AO=OD=MN.在直角三角形Rt△ABC中,根據勾股定理求得BC的值;然后根據相似三角形的性質求得OD;再過M作MQ⊥BC于Q,構建△BMQ∽△ABC,由相似三角形的對應邊成比例解得x的值;
(3)由已知條件證明四邊形AMPN是矩形,根據矩形的性質求得PN=AM=x;然后由平行四邊形BFNM的性質解得FN=8-x,PF=2x-8;最后利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性質求得S△PEF值;最后利用“割補法”求得題型的面積.
解答:解:(1)∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C,
∴△AMN∽△ABC,
,即,

∵AM⊥AN,
;

(2)設BC與⊙O相切于點D,連接AO、OD,則AO=OD=MN,
在Rt△ABC中,,
又∵△AMN∽△ABC,
,即
,

過M作MQ⊥BC于Q,則;
則△BMQ∽△ABC,
,




(3)∵∠A=90°,PM∥AC,∠MPN=90°,
∴四邊形AMPN是矩形,
∴PN=AM=x;
又∵四邊形BFNM是平行四邊形,
∴FN=BM=8-x,PF=PN-FN=x-(8-x)=2x-8,
又Rt△PEF∽Rt△ABC,
,

∵S△AMN=S△PMN
(0≤x≤8).
點評:本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理及切線的性質.解答此題時,還借用了直徑所對的圓周角是直角的性質.
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23、如圖,在△ABC中,CD⊥AB,垂足為D,點E在BC上,EF⊥AB,垂足為F.
(1)CD與EF平行嗎?為什么?
(2)如果∠1=∠2,且∠3=115°,求∠ACB的度數.

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在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE.
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(1)如圖1.連接BE、CD,BE與CD交于點O,
①證明:DC=BE;
②∠BOC=
 
°. (直接填答案)
(2)如圖2,連接DE,交AB于點F.DF與EF相等嗎?證明你的結論.

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18、如圖,在△ABC中,邊AC的垂直平分線交BC于點D,交AC于點E、已知△ABC中與△ABD的周長分別為18cm和12cm,則線段AE的長等于
3
cm.

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在△ABC中,∠C=90°,BC=12,AB=13,則tanA的值是( 。
A、
5
12
B、
12
5
C、
12
13
D、
5
13

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科目:初中數學 來源: 題型:

在△ABC中,a=
2
,b=
6
,c=2
2
,則最大邊上的中線長為(  )
A、
2
B、
3
C、2
D、以上都不對

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