Question

在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為一個單位的正方形．
（1）計算△ABC的面積．
（2）判斷△ABC的形狀？說明理由．
（3）畫出△ABC繞點B順時針旋轉90°后的△A₁B₁C₁，并求出△ABC在上述旋轉過程中所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，列式進行計算即可；
（2）利用相應的直角三角形，分別求出AB²、BC²、AC²的值，再根據勾股定理逆定理進行判斷是直角三角形；
（3）先根據旋轉的旋轉找出旋轉后的點A₁、B₁、C₁的位置，然后順次連接即可得到△A₁B₁C₁，△ABC旋轉過程中所掃過的面積等于以AB為半徑的90°的扇形的面積與△ABC的面積的和，然后列式計算即可．

解答：解：（1）S_△ABC=4×4-

1

2

×4×2-

1

2

×2×1-

1

2

×3×4，
=16-4-1-6，
=5；

（2）AB²=4²+3²=25，BC²=2²+1²=5，AC²=4²+2²=20，
∵25=5+20，
即AB²=BC²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；

（3）圖形如圖，△ABC旋轉過程中所掃過的面積為扇形OAA₁的面積與△ABC的面積的和，
S_扇=

90πAB2

360

=

25π

4

，
∴△ABC在旋轉過程中所掃過的面積是

25π

4

+5．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，找出對應點的位置是作圖的關鍵，還考查了勾股定理的運用，勾股定理逆定理，以及求扇形的面積，需要注意，三角形旋轉掃過的面積是扇形的面積與三角形的面積的和，容易漏掉三角形的面積而導致出錯．