Question

如圖，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直角∠DFE的頂點F是AB中點，兩邊FD，FE分別交AC，BC于點D，E兩點，當∠DFE在△ABC內繞頂點F旋轉時（點D不與A，C重合），給出以下個結論：①CD=BE   ②四邊形CDFE不可能是正方形  ③△DFE是等腰直角三角形 ④S_{四邊形CDFE}=S_△ABC，上述結論中始終正確的有（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：首先連接CF，由等腰直角三角形的性質可得：∴∠A=∠B=45°，CF⊥AB，∠ACF=∠ACB=45°，CF=AF=BF=AB，則證得∠DCF=∠B，∠DFC=∠EFB，然后可證得：△DCF≌△EBF，由全等三角形的性質可得CD=BE，DF=EF，也可證得S_{四邊形CDFE}=S_△ABC，問題得解．
解答：解：連接CF，
∵AC=BC，∠ACB=90°，點F是AB中點，
∴∠A=∠B=45°，CF⊥AB，∠ACF=∠ACB=45°，CF=AF=BF=AB，
∴∠DCF=∠B=45°，
∵∠DFE=90°，
∴∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFB=90°，
∴∠DFC=∠EFB，
∴△DCF≌△EBF，
∴CD=BE，故①正確；
∴DF=EF，
∴△DFE是等腰直角三角形，故③正確；
∴S_△DCF=S_△BEF，
∴S_{四邊形CDFE}=S_△CDF+S_△CEF=S_△EBF+S_△CEF=S_△CBF=S_△ABC，故④正確．
若EF⊥BC時，則可得：四邊形CDFE是矩形，
∵DF=EF，
∴四邊形CDFE是正方形，故②錯誤．
∴結論中始終正確的有①③④．
故選C．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，正方形的判定等知識．題目綜合性很強，但難度不大，注意數形結合思想的應用．