Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=2 ，∠BAC=120°，點D，E都在邊BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，則DE的長為 ．

Answer 1

【答案】3 ﹣3
【解析】（方法一）將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACF，連接EF，過點E作EM⊥CF于點M，過點A作AN⊥BC于點N，如圖所示．

∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，

∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．

在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2 ，

∴AN= AB= ，BN= =3，

∴BC=6．

∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠CAE=60°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．

在△ADE和△AFE中， ，

∴△ADE≌△AFE（SAS），

∴DE=FE．

∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，

∴設CE=2x，則CM=x，EM= x，FM=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x．

在Rt△EFM中，FE=6﹣6x，FM=3x，EM= x，

∴EF2=FM2+EM2，即（6﹣6x）2=（3x）2+（ x）2，

解得：x1= ，x2= （不合題意，舍去），

∴DE=6﹣6x=3 ﹣3．

所以答案是：3 ﹣3．

（方法二）：將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，如圖所示．

∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，

∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，

∴∠ECG=60°．

∵CF=BD=2CE，

∴CG=CE，

∴△CEG為等邊三角形，

∴EG=CG=FG，

∴∠EFG=∠FEG= ∠CGE=30°，

∴△CEF為直角三角形．

∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠CAE=60°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．

在△ADE和△AFE中， ，

∴△ADE≌△AFE（SAS），

∴DE=FE．

設EC=x，則BD=CD=2x，DE=FE=6﹣3x，

在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，

EF= = x，

∴6﹣3x= x，

x=3﹣ ，

∴DE= x=3 ﹣3．

所以答案是：3 ﹣3．

【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和旋轉的性質，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．