Question

已知，拋物線經過A(-1，0)，C(2，)兩點，

與x軸交于另一點B．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點 （不與點B重合），點Q在線段MB上移動，且∠MPQ=45°，設線段OP=x，MQ=，求y₂與x的函數關系式，

并直接寫出自變量x的取值范圍．

 

Answer 1

解：(1) ∵拋物線y₁=ax²-2ax+b經過A(-1，0)，C(0，)兩點，

∴，∴，∴拋物線的解析式為y₁= -x²+x+

（2）解法一：過點M作MN⊥AB交AB于點N，連接AM

由y₁= -x²+x+可知頂點M(1，2) ，A(-1，0)，B(3，0)，N(1，0)

∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.

∴△AMN和△BMN為等腰直角三角形.

∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°

∴∠QPB=∠PMA

又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA

∴  將AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，

可得，即.

∵點P為線段OB上一動點 （不與點B重合）∴0£x＜3

則y₂與x的函數關系式為y₂=x²-x+(0£x<3)

解法二：

過點M作MN⊥AB交AB于點N.

由y₁= -x²+x+易得M(1，2)，N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，

∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，ÐMBN=45°

根據勾股定理有BM ²-BN ²=PM ²-PN ².    ∴…①，

又ÐMPQ=45°=ÐMBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y₂´2

由j、k得y₂=x²-x+.

∵0£x<3，∴y₂與x的函數關系式為y₂=x²-x+(0£x<3)