Question

已知：如圖，AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，點C是弦AB上一動點（不與點A、B重合），連接CO并延長交⊙O于點D，連接AD．
（1）求弦AB的長；
（2）當∠D=20°時，求∠BOD的度數；
（3）當AC的長度為多少時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、O、C為頂點的三角形相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）過點O作OE⊥AB于點E，根據銳角三角函數值，即可推出BE的長度，然后根據垂徑定理即可推出AB的長度，（2）連接OA，由OA=OB=OC，即可推出∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，然后結合圖形即可推出∠BAD的度數，即可推出∠BOD的度數，（3））由∠BCO=∠DAB+∠D，可知∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D，根據相似三角形的判定定理，結合圖形可推出，要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，由此可得，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∠DAC=60°，由此可推出△DAC∽△BOC，可推出OC⊥AB，然后即可推出AC的長度．
解答：解：（1）過點O作OE⊥AB于點E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴，
∴，

（2）連接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°，

（3）∵∠BCO=∠DAB+∠D，
∴∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
∴∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，
∴AC=AB=，
∴當時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、O、C為頂點的三角形相似．
點評：本題主要考查垂徑定理，相似三角形的判定及性質，銳角三角函數，解直角三角形等知識點，關鍵在于熟練正確的運用分性質定理，認真的進行計算，正確的運用數形結合的思想進行分析．