Question

如圖，⊙O內切于△ABC，切點分別為D、E、F，若∠C=90°，AC=6，BC=8，則圖中陰影部分（即指線段CE、CF及圍成的圖形）的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OE、OF，求出AB．根據⊙O是△ACB的內切圓得出AE=AD，BD=BF，CE=CF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，OE=OF，推出正方形OECF，設⊙O的半徑是R，得出6-R+8-R=10，求出R，根據根據陰影部分的面積等于S_{正方形OECF}-S_扇形OEF，代入求出即可．
解答：解：連接OE、OF，
在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB=10，
∵⊙O是△ACB的內切圓，切點為E、F、D，
∴AE=AD，BD=BF，CE=CF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，OE=OF，
∴四邊形OECF是正方形，
∴∠EOF=90°，CE=CF=OE，
∴AE+BF=AB=10，
設⊙O的半徑是R，
則6-R+8-R=10，
解得：R=2，
∴陰影部分的面積是：S_{正方形OECF}-S_扇形OEF=2×2-=4-π．
故答案為：4-π．
點評：本題考查了正方形的性質和判定，切線長定理，勾股定理，扇形的面積等知識點的應用，關鍵是正確作輔助線后能求出正方形和扇形的面積，本題綜合性比較強，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題型較好．