Question

如圖，⊙O內切于△ABC，切點分別為D、E、F，若∠C=90°，AD=4，BD=6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：先利用切線的性質，由AD=4，BD=6，可知AE=4，BF=6，再根據勾股定理求出圓的半徑，然后利用扇形的面積公式計算，陰影部分的面積=正方形的面積-扇形的面積．

解答：解：連接OE，OF，
∵⊙O內切于△ABC，切點分別為D、E、F，AD=4，BD=6
∴AE=4，BF=6，
設圓的半徑=R，
∵△ABC是直角三角形，又∵⊙O內切于△ABC，切點分別為D、E、F，
∴EC=CF=R，
∴AC=4+R，BC=6+R，
根據勾股定理得（R+4）²+（R+6）²=100，
解得R=2或-12，負值舍去．
∵陰影部分的面積=正方形OECF的面積-扇形的面積，
∴陰影面積=2×2-

90π×4

360

=4-π．

點評：本題的關鍵是求出圓的半徑，然后理解陰影部分的面積=正方形的面積-扇形的面積．利用扇形和正方形的面積公式計算．