Question

關于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0的兩實根x₁、x₂滿足|x₁+x₂|=x₁x₂-1．點A為直線y=x上一點，過A作AC⊥x軸交x軸于C，交雙曲線于B，求OB²-AB²的值．

Answer 1

【答案】分析：根據一元二次方程根與系數的關系得出x₁+x₂=2k-2，x₁x₂=k²，再根據|x₁+x₂|=x₁•x₂-1，得出關于k的方程，解方程得出k的值，再利用勾股定理得出OB²=OC²+BC²，AB²=（AC+BC） ²=OC²+BC²+2OC•BC，得出OB²-AB²=-2OC•BC求出即可．
解答：解：由根與系數的關系，得x₁+x₂=2k-2，x₁x₂=k²，
當2k-2≥0時，
∵|x₁+x₂|=x₁•x₂-1，
∴2k-2=k²-1，
∴k=1（此時不合題意），
當2k-2＜0時，
∵|x₁+x₂|=x₁•x₂-1，
∴2-2k=k²-1，
∴k₁=1（舍去），k₂=-3．
故k=-3，
根據題意畫出圖象：
∵點A為直線y=x上一點，
∴AC=CO，
∵OB²=OC²+BC²，AB²=（AC+BC） ²=OC²+BC²+2OC•BC，
∴OB²-AB²=OC²+BC²-（OC²+BC²+2OC•BC）=-2OC•BC=-2k=6．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數關系的應用以及一次函數與反比例函數的綜合應用，關鍵是列出關于k的方程以及利用勾股定理得出OB²-AB²=-2OC•BC．