Question

如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為M（2，0），直線y=x+2與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中點A在y軸上，P為線段AB上一動點（除A，B兩端點外），過P作x軸的垂線與二次函數的圖象交于點Q，設線段PQ的長為l，點P的橫坐標為x．
（1）求出l與x之間的函數關系式，并求出l的取值范圍；
（2）在線段AB上是否存在一點P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點P的坐標及梯形PQMA的面積；若不存在，請說明理由；
（3）當2＜x＜6時，延長PQ、AM交于F，連接NF、PM，求證：NF⊥PM．

Answer 1

分析：（1）根據直線y=x+2的解析式求出A點的坐標，根據A、B的坐標求出拋物線的解析式，由PQ⊥x軸得P、Q的橫坐標為x，最后用縱坐標的差表示出來就可．根據A、B兩點的縱坐標就可以求出取值范圍．
（2）過點M作MQ∥AB交拋物線于點Q，連接AM，作PQ∥y軸于點P，過M作MD∥PQ，MD交AB于N，得出四邊形PQMD為平行四邊形，可以求出MD的長度，從而求出P點的坐標和梯形的面積．
（3）由直線y=x+2和拋物線y=

1

2

(x-2)2可以求出OA=ON=OM=2，可以得出FA⊥NP，由NE⊥PF，所以有點M是△PNF的垂心，從而得出結論．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點為M（2，0），
∴設其解析式為y=a（x-2）²．
∵拋物線經過直線y=x+2與y軸的交點A（0，2），
∴a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

(x-2)2．
∵PQ⊥x軸且橫坐標為x，
∴l=(x+2)-

1

2

(x-2)2=-

1

2

x2+3x．
由

y=x+2 y= 1 2 (x-2)2

得點B的坐標為B（6，8），
∵點p在線段AB上運動，
∴0＜x＜6．
∵l=-

1

2

x2+3x=-

1

2

(x-3)2+

9

2

，
∴當x=3時，l最大=

9

2

．
∴0＜l＜

9

2

．…（5分）

（2）作MQ∥AP．過M作MD∥PQ，MD交AB于N，
則四邊形PQMD為平行四邊形．
∴MD=PQ，∵M（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．
∴PQ=-

1

2

x2+3x=MD=4．
∴x²-6x+8=0，∴x₁=2，x₂=4．
∵2＜x＜6，∴x=4．
∴P（4，6），Q（4，2）．
∴存在點P（4，6），使四邊形PQMA為梯形．
如圖，

S_梯形PQMA=S_梯形PEOA-S_△AOM-S_△MQE
=

1

2

(2+6)×4-

1

2

×2×2-

1

2

×2×2=12．

（3）：∵直線y=x+2與x軸，y軸相交于點N，A．
∴ON=OA=2，又y=

1

2

(x-2)2∵OA=OM=2．

∴FA⊥NP，
∵NE⊥PF，
∴點M是△PNF的垂心．
∴NF⊥PM．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，梯形的性質的運用及梯形的面積，三角形的垂心的運用．