Question

如圖，定義：若雙曲線y＝(k＞0)與它的其中一條對稱軸y＝x相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長度為雙曲線y＝(k＞0)的對徑．

(1)求雙曲線y＝的對徑．

(2)若雙曲線y＝(k＞0)的對徑是10，求k的值．

(3)仿照上述定義，定義雙曲線y＝(k＜0)的對徑．

Answer 1

考點(diǎn)：

反比例函數(shù)綜合題。

專題：

綜合題。

分析：

過A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，

(1)先解方程組，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)，即OC＝AC＝1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA＝OC＝，則AB＝2OA＝2，于是得到雙曲線y＝的對徑；

(2)根據(jù)雙曲線的對徑的定義得到當(dāng)雙曲線的對徑為10，即AB＝10，OA＝5，根據(jù)OA＝OC＝AC，則OC＝AC＝5，得到點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)，把A(5，5)代入雙曲線y＝(k＞0)即可得到k的值；

(3)雙曲線y＝(k＜0)的一條對稱軸與雙曲線有兩個交點(diǎn)，根據(jù)題目中的定義易得到雙曲線y＝(k＜0)的對徑．

解答：

解：過A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，如圖，

(1)解方程組，得，，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)，

∴OC＝AC＝1，

∴OA＝OC＝，

∴AB＝2OA＝2，

∴雙曲線y＝的對徑是2；

(2)∵雙曲線的對徑為10，即AB＝10，OA＝5，

∴OA＝OC＝AC，

∴OC＝AC＝5，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)，

把A(5，5)代入雙曲線y＝(k＞0)得k＝5×5＝25，

即k的值為25；

(3)若雙曲線y＝(k＜0)與它的其中一條對稱軸y＝－x相交于A、B兩點(diǎn)，

則線段AB的長稱為雙曲線y＝(k＞0)的對徑．

點(diǎn)評：

本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式；等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍；強(qiáng)化理解能力．