Question

如圖點A是⊙O外的一點，OA交⊙O于點C，已知⊙O 的半徑是1，OA=2；點B是⊙O上的一點，且AB=，過點B作BD∥OA，交⊙O于點B．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理推知∠ABO=90°，即AB⊥OB，易證得結論；
（2）S_陰影=S_扇形ODB+S_△ABO-S_△AOD．
解答：（1）證明：∵⊙O的半徑是1，OA=2，AB=，
∴OB²+AB²=OA²=4，
∴∠ABO=90°，即AB⊥OB，
又∵OB是⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線；

（2）由（1）知，∠ABO=90°．
∵OA=2OB，
∴∠OAB=30°，
∴∠BOA=60°．
又∵BD∥OA，
∴∠OBD=∠BOA=60°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形，
∴∠DOB=60°．
∴S_陰影=S_扇形ODB+S_△ABO-S_△AOD=+OB•AB-OD•OAsin∠AOD=+×1×-×1×2×=．即陰影部分的面積是．
點評：本題考查了切線的判定，扇形面積的計算．此題是利用平行線的性質推知等腰△ODB是等邊三角形的，另外，解題時還利用了勾股定理推知△ABO是直角三角形．