Question

已知關于x的一元二次方程x²-4x+m=0．
（1）如果方程有兩個實數根，求m的取值范圍；
（2）設方程的兩個實數根為x₁和x₂，如果（x₁-2）（x₂-2）=5m，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵方程有兩個實數根，
∴△=（-4）²-4k≥0，
∴k≤4；
（2）根據條件得x₁+x₂=4，x₁x₂=m．
∵（x₁-2）（x₂-2）=5m，
∴x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=5m，
∴m-2×4+4=5m，
∴m=-1．
分析：（1）根據關于x的方程x²-4x+m=0有兩個實數根，則△≥0，列出不等式，即可求出m的取值范圍；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系x₁+x₂=4，x₁•x₂=-m代入化簡以后的等式，即可求得m的值．
點評：解答此題的關鍵是熟知一元二次方程根的情況與判別式△的關系，及根與系數的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．（4）若一元二次方程有實數根，則x₁+x₂=-，x₁x₂=．