Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上任意一點，DE垂直平分AB，垂足為E，且DE=DC．
（1）求∠B的度數；
（2）若CD=3，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線性質得出∠CAD=∠DAB，根據DE垂直平分AB推出DA=DB，求出∠B=∠DAB=∠CAD，得出3∠B=90°，求出即可；
（2）求出DE，根據∠B=30°，求出BD=2DE=6，求出BC，設AC=a，求出AB=2AC=2a，由勾股定理得出（2a）²=a²+9²，求出即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，
∴CD⊥AC，
∵DE垂直平分AB，DE=DC，
∴∠CAD=∠DAB，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠DAB+∠CAD=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°；

（2）∵CD=3，CD=DE，
∴DE=3，
∵∠B=30°，DE⊥AB，
∴DB=2DE=6，
∴BC=3+6=9，
設AC=a，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2a，
由勾股定理得：（2a）²=a²+9²，
a=3

3

，
AB=2a=6

3

．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，直角三角形斜邊上中線，線段垂直平分線性質，角平分線性質，含30度角的直角三角形性質等知識點的綜合運用．