Question

已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h.

　　若點P在一邊BC上(如圖14-3-17①)，此時h₃=0，可得結(jié)論：h₁＋h₂＋h₃=h.

　　請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：

　　當(dāng)點P在△ABC內(nèi)(如圖14-3-17②)、點P在△ABC外(如圖14-3-17③)這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請簡述理由；若不成立，h₁、h₂、h₃與h之間又有怎樣的關(guān)系，請寫出你的猜想，不需證明.

Answer 1

答案：
解析：

分析：這是一個閱讀理解題，以點P在等邊三角形的邊上為基礎(chǔ)，有結(jié)論“h1+h2+h3=h”成立，因此我們要把問題②③轉(zhuǎn)化成圖①的情景.過點P作NQ∥BC，分別交AB、AC、AM(或它們的延長線)于點N、Q、K(如下圖)，則△ANQ仍為等邊三角形，對應(yīng)有類似“h1+h2+h3=h”的結(jié)論. 解：當(dāng)點P在△ABC內(nèi)部時，結(jié)論h1+h2+h3=h仍然成立. 如圖(1)，過點P作NQ∥BC，分別交AB、AC、AM于點N、Q、K，則△ANQ仍為等邊三角形，由①可知h1+h2=AK. ∵NQ∥BC，KM⊥BC，PF⊥BC ∴KM=PF=h3，∴h1+h2+h3=AK+KM=AM=h. 當(dāng)點P在△ABC外部時，h1、h2、h3與h之間的關(guān)系為h1+h2-h3=h，如圖(2)，證法同上.