Question

31、已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．
“若點P在一邊BC上（如圖1），此時h₃=0，可得結論h₁+h₂+h₃=h”
請直接應用上述信息解決下列問題：
（1）當點P在△ABC內（如圖2），（2）點P在△ABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，h₁、h₂、h₃與h之間的關系如何？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析：（1）當點P在△ABC內時，結論h₁+h₂+h₃=h仍然成立．過點P作BC的平行線，交AB于G，交AC于H，交AM于N，則運用題目結論得出h₁+h₂=AN，再根據矩形的性質即可得出結論；
（2）當點P在△ABC外時，結論h₁+h₂+h₃=h不成立．此時，它們的關系是h₁+h₂-h₃=h．過點P作BC的平行線，交AB的延長線于G，交AC的延長線于H，交AM的延長線于N，則運用題目結論得出h₁+h₂=AN，再根據矩形的性質即可得出結論．

解答：解：（1）當點P在△ABC內時，結論h₁+h₂+h₃=h仍然成立．
理由如下：過點P作BC的平行線，交AB于G，交AC于H，交AM于N，則可得結論h₁+h₂=AN．
∵四邊形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h₃=MN．
∴h₁+h₂+h₃=AN+MN=AM=h，
即h₁+h₂+h₃=h．

（2）當點P在△ABC外時，結論h₁+h₂+h₃=h不成立．此時，它們的關系是h₁+h₂-h₃=h．
理由如下：過點P作BC的平行線，與AB、AC、AM分別相交于G、H、N，則可得結論h₁+h₂=AN．
∵四邊形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h₃=MN．
∴h₁+h₂-h₃=AN-MN=AM=h，
即h₁+h₂-h₃=h．

點評：本題考查了學生的理解能力及知識的遷移能力．通過作輔助線使h₃=0，從而運用題目結論h₁+h₂+h₃=h是解題的關鍵．