Question

如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）判斷OE與OF的大小關系？并說明理由；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由；
（3）在（2）的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF會是正方形．

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的性質的得出，∠1=∠2，進而得出，∠3=∠2，即可得出OE與OF的大小關系；
（2）首先的很粗四邊形AECF是平行四邊形，進而得出∠ECF=90度，再利用矩形的判定得出即可；
（3）由（2）證明可知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，進而得出AC⊥MN，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，
∴EO=CO，同理，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
理由：∵EO=FO，點O是AC的中點．∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=

1

2

×180°=90°．
即∠ECF=90度，∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）解：當△ABC是直角三角形時，即∠ACB=90°時，四邊形AECF會是正方形，
理由：由（2）證明可知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，CE、CN分別是∠ACB與∠ACB的外角平分線，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，
∴AC⊥MN，
∴四邊形AECF是正方形．

點評：此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，正確區分它們的定義是解題關鍵．