Question

實踐與探索！如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，根據下列條件，求∠BIC的度數，
①若∠ABC=40°，∠ACB=60°，則∠BIC=________；
②若∠ABC+∠ACB=80°，則∠BIC=________；
③若∠A=120°，則∠BIC=________；
④從上述計算中，我們能發現∠BIC與∠A的關系式，并加以證明．

Answer 1

130°    140°    150°
分析：①由∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，可求∠IBC、∠ICB的度數，再利用三角形內角和定理求∠BIC；
②由∠ABC+∠ACB=80°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，可求∠IBC+∠ICB的度數，再利用三角形內角和定理求∠BIC；
③由∠A=120°可知∠ABC+∠ACB=60°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，可求∠IBC+∠ICB的度數，再利用三角形內角和定理求∠BIC；
④由三角形內角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，則∠IBC+∠ICB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），在△IBC中，利用三角形內角和定理求∠BIC．
解答：①∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，
∴∠IBC=20°∠ICB=30°，
∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=130°；
②∵∠ABC+∠ACB=80°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=40°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=140°；
③∵∠A=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°，
又∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=30°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=150°；
④∠BIC=90°+∠A
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∵BI、CI是△ABC內角的平分線
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB
∴∠IBC+∠ICB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）
在△IBC中，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A
即：∠BIC=90°+∠A．
點評：本題考查了三角形角平分線的性質，內角和定理的運用．