Question

如圖，A、B、C、D為矩形的4個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點A、C同時出發，點Q從點C向點D移動．
（1）若點P從點A移動到點B停止，點P、Q分別從點A、C同時出發，問經過2s時P、Q兩點之間的距離是多少cm？
（2）若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，點P、Q分別從點A、C同時出發，問經過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？
（3）若點P沿著AB→BC→CD移動，點P、Q分別從點A、C同時出發，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經過多長時間△PBQ的面積為 12cm²？

Answer 1

【答案】分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的長度，利用PE²+EQ²=PQ²列出方程求解即可；
（2）設x秒后，點P和點Q的距離是10cm．在Rt△PEQ中，根據勾股定理列出關于x的方程（16-5x）²=64，通過解方程即可求得x的值；
（3）分類討論：①當點P在AB上時；②當點P在BC邊上；③當點P在CD邊上時．
解答：解：（1）過點P作PE⊥CD于E．則根據題意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根據勾股定理，得
PE²+EQ²=PQ²，即36+36=PQ²，
∴PQ=6cm；
∴經過2s時P、Q兩點之間的距離是6cm；

（2）設x秒后，點P和點Q的距離是10cm．
（16-2x-3x）²+6²=10²，即（16-5x）²=64，
∴16-5x=±8，
∴，；
∴經過s或sP、Q兩點之間的距離是10cm；

（3）連接BQ．設經過ys后△PBQ的面積為12cm²．
①當時，則PB=16-3y，
∴PB•BC=12，即×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②當時，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，則
BP•CQ=（3y-16）×2y=12，
解得y₁=6，（舍去）；   
③時，
QP=CQ-PQ=22-y，則
QP•CB=（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
綜上所述，經過4秒或6秒△PBQ的面積為 12cm²．
點評：本題綜合考查了矩形的性質、兩點間的距離、三角形的面積等知識點．解答（3）時，要分類討論，以防漏解．