Question

我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形．請解答下列問題：
（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；
（2）探究：當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）等腰梯形、矩形、正方形．
（2）結論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長．
已知：四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC=BD，
且∠AOD=60度．
求證：BC+AD≥AC．
證明：過點D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．
連接CE，BE．
故∠EDO=60°，四邊形ACED是平行四邊形．
∵AC=DE，AC=BD，
∴DE=BD，
∵∠EDO=60°，
∴△BDE是等邊三角形．
所以DE=BE=AC．
①當BC與CE不在同一條直線上時（如圖1），

在△BCE中，有BC+CE＞BE．
所以BC+AD＞AC．
②當BC與CE在同一條直線上時（如圖2），
則BC+CE=BE．
因此BC+AD=AC
綜合①、②，得BC+AD≥AC．
即等對角線四邊形中兩條對角線所夾角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大于或等于其中一條對角線的長．
分析：（1）等腰梯形、矩形、正方形，任選兩個即可；
（2）等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長．分兩種情況證明：當BC與CE不在同一條直線上時，60°角所對的兩邊之和大于其中一條對角線的長；當BC與CE在同一條直線上時60°角所對的兩邊之和等于其中一條對角線的長．
點評：本題綜合考查了平行四邊形的判定和三角形的有關知識，解答此類題的關鍵是要突破思維定勢的障礙，運用發散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結論，挖掘它的內在聯系．