Question

如圖，弦AB交圓O的直徑CD于點H，且AH=BH，作△AHD關于直線AD的軸對稱△AED，延長AE交CD的延長線于點P．
（1）試說明：AE為圓O的切線；
（2）已知PA=2，PD=1，求圓O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OA，
∵CD是直徑，AH=BH，
∴AB⊥CD，
由△AED與△AHD關于直線AD成軸對稱可知∠AED=∠AHD=90°，∠ADO=∠ADE，
又∵OA=OD（圓的半徑），
∴∠OAD=∠ODA（等邊對等角），
∴∠OAD=∠ADE（等量代換），
∴OA∥DE（內錯角相等，兩直線平行），
∴∠OAP=90°，
又∵點A在圓上，
∴AE為⊙O的切線．

（2）解：設⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，
OA²+AP²=OP²，
x²+2²=（x+1）²，
解得：x=1.5．
即⊙O的半徑為1.5．
分析：（1）連接OA，根據垂徑定理求出AB⊥CD，求出AE⊥DE，∠ADE=∠ADH，求出∠OAD=∠ADE，推出OA∥DE，求出OA⊥AP，根據切線的判定推出即可；
（2）設⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，由勾股定理得出關于x的方程，求出方程的解即可．
點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質，旋轉的性質，平行線的性質和判定，切線的判定的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，題目比較典型，是一道綜合性比較強的題目．