Question

在△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐標系中，使AB的中點位于坐標原點O(如圖)，△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉．

(1)　當點B在第一象限，縱坐標是時，求點B的橫坐標；

(2)　如果拋物線(a≠0)的對稱軸經過點C，請你探究：

當，，時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由

 

Answer 1

 

（1）

（2）理由略

解析:解：（1）∵點O是AB的中點，∴．  

設點B的橫坐標是x(x>0)，則，           

解得　，(舍去)．

∴點B的橫坐標是．…………………………………2分

（2）當，，時，得

　　

．(＊)  

∵拋物線對稱軸經過點C，∴ C的橫坐標為，                        

以下分兩種情況討論．

情況1：設點C在第一象限(如圖甲)，

．          

由此，可求得點C的坐標為(，)， 

點A的坐標為(，)，

∵　A，B兩點關于原點對稱，

∴　點B的坐標為(，)．

將點A的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點A的縱坐標；

將點B的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點B的縱坐標．

∴在這種情況下，A，B兩點都在拋物線上． ……………………………………4分

情況2：設點C在第四象限(如圖乙)，則點C的坐標為(，-)，

點A的坐標為(，)，點B的坐標為(，)．………………6分

經計算，A，B兩點都不在這條拋物線上．            　              　…7分

(情況2另解：經判斷，如果A，B兩點都在這條拋物線上，那么拋物線將開口向下，而已知的拋物線開口向上．所以A，B兩點不可能都在這條拋物線上)