Question

武夷山市某茶廠生產某品牌茶葉，它的成本價是每千克180元，售價是每千克230元，年銷售量為10 000千克．隨著產量增加，為了擴大銷售量，增加效益，公司決定拿出一定量的資金做廣告．根據市場調查，若每年投入廣告費為x（萬元）時，產品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y與x之間的關系如圖所示，可近似看作是拋物線的一部分．
（1）根據圖象提供的信息，求y與x之間的函數關系式；
（2）求年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）之間的函數關系式；（年利潤S=年銷售總額-成本費-廣告費）
（3）問廣告費x（萬元）在什么范圍內，公司獲得的年利潤S（萬元）隨廣告費的增大而增多？

Answer 1

分析：（1）圖象過點（0，1）、（1，2.7）、（2，4.2），易求函數關系式；
（2）根據年利潤的計算方法分別表示各部分得關系式，銷售總額為10000y×230=230y（萬元），成本費為180y（萬元），廣告費為x（萬元），所以可得關系式；
（3）根據函數性質答題．因為關系式是二次函數，根據開口方向及對稱性，結合圖象回答問題．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
因為圖象過點（0，1）、（1，2.7）、（2，4.2），
所以有c=1，

2.7=a+b+c 4.2=4a+2b+c

，
解得a=-0.1，b=1.8．
∴y=-0.1x²+1.8x+1（x≥0）

（2）s=230y-180y-x=50y-x
=50（-0.1x²+1.8x+1）-x
=-5x²+89x+50（x≥0）

（3）根據s=-5x²+89x+50（x≥0）可得：
其對稱軸為x=8.9，
因為-5＜0，
所以根據函數性質，0＜x＜8.9時，公司獲得的年利潤s隨廣告費的增大而增多．

點評：利用圖象及其性質解題須認真審題得出函數關系式，注意自變量的取值范圍．