Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），與y軸交于點C．若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．

（1）求該二次函數的解析式及點C的坐標；

（2）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（0，-4）．（2）存在．點E的坐標為（-，0）或（-，0）或（-1，0）或（7，0）．（3）四邊形APDQ為菱形，D點坐標為（-，-）．

【解析】試題分析：（1）將A，B點坐標代入函數y=x2+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式及C坐標．

（2）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標．

（3）注意到P，Q運動速度相同，則△APQ運動時都為等腰三角形，又由A、D對稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對邊平行且相等等性質可用t表示D點坐標，又D在E函數上，所以代入即可求t，進而D可表示．

試題解析：（1）∵二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），

∴，解得，

∴y=x2-x-4．

∴C（0，-4）．

（2）存在．

如圖1，過點Q作QD⊥OA于D，此時QD∥OC，

∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0），

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5，

∵當點P運動到B點時，點Q停止運動，AB=4，

∴AQ=4．

∵QD∥OC，

∴，

∴，

∴QD=，AD=．

①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，

設AE=x，則EQ=x，DE=AD-AE=|-x|，

∴在Rt△EDQ中，（ -x）2+（）2=x2，解得 x=，

∴OA-AE=3-=-，

∴E（-，0），

說明點E在x軸的負半軸上；

②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QE=QA=4，

∵ED=AD=，

∴AE=，

∴OA-AE=3-=-，

∴E（-，0）．

③當AE=AQ=4時，

1．當E在A點左邊時，

∵OA-AE=3-4=-1，

∴E（-1，0）．

2．當E在A點右邊時，

∵OA+AE=3+4=7，

∴E（7，0）．

綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標為（-，0）或（-，0）或（-1，0）或（7，0）．

（3）四邊形APDQ為菱形，D點坐標為（-，-）．理由如下：

如圖2，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四邊形AQDP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴，

∴，

∴AF=t，FQ=t，

∴Q（3-t，-t），

∵DQ=AP=t，

∴D（3-t-t，-t），

∵D在二次函數y=x2-x-4上，

∴-t=（3-t）2-（3-t）-4，

∴t=，或t=0（與A重合，舍去），

∴D（-，-）．