Question

如圖，在△ABC中，BD為高，BD=8cm，CD=4cm，AD=6cm，點(diǎn)M、N分別為AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M以2cm/s的速度自C向A方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒5cm/s的速度自A向B沿射線AB方向作勻速運(yùn)動(dòng)，MN交BD于點(diǎn)P． M、N兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）求線段AB的長；
（2）當(dāng)t=1（s）時(shí)，求

MN

MP

的值；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BNP是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由△ABC中，BD為高，BD=8cm，AD=6cm，根據(jù)勾股定理的知識(shí)，即可求得AB的值；
（2）過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，可得當(dāng)t=1（s）時(shí)，AN=5，得：AH=3，CM=2，由PD∥NH，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得

MN

MP

的值；
（3）由）

PD

NH

=

2

5

，即可求得PD=

8

5

t，PB=8-

8

5

t．然后分別從當(dāng)點(diǎn)M在CD上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)M在DA上時(shí)去分析，即可求得答案，小心別漏解．

解答：解：（1）∵△ABC中，BD為高，BD=8cm，AD=6cm，
∴AB²=BD²+AD²=100．
∴AB=10cm．（2分）

（2）過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，（3分）
當(dāng)t=1（s）時(shí)，AN=5，得：AH=3，CM=2，
∴DH=6-3=3，DM=4-2=2，
∴MH=10-3-2=5，
∵PD∥NH，
∴

MN

MP

=

MH

MD

=

5

2

（5分）

（3）∵

PD

NH

=

2

5

，PD=

2

5

NH=

2

5

×4t，
∴PD=

8

5

t，PB=8-

8

5

t．
①當(dāng)點(diǎn)M在CD上時(shí)，BN=10-5t，
（ⅰ）當(dāng)PB=NB時(shí)，8-

8

5

t=10-5t，t=

10

17

．（6分）
（ⅱ）當(dāng)PB=PN時(shí)，則∠PNB=∠PBN，∵∠PNB＞∠BAC＞∠PBN，矛盾∴不成立（7分）
（ⅲ）當(dāng)NB=NP時(shí)，過點(diǎn)N作NG⊥BD軸于點(diǎn)G，則BG=PG=

1

2

BP=4-

4

5

t，
∵GN∥DA，
∴

BG

BD

=

BN

BA

．
∴

4- 4 5 t

8

=

10-5t

10

，t=

5

4

．（9分）
②當(dāng)點(diǎn)M在DA上時(shí)，BN=5t-10，
（ⅰ）BP=BN，8-

8

5

t=5t-10，t=

30

11

．（10分）
（ⅱ）PB=PN或NB=NP，∵∠PBN＞90°，∴不成立．（11分）
∴當(dāng)t=

10

17

或t=

5

4

或t=

30

11

時(shí)，△BNP是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．