Question

如圖1，矩形ODEF的一邊落在矩形ABCO的一邊上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4

3

．
（1）求矩形ODEF的面積；
（2）將圖1中的矩形ODEF繞點O逆時針旋轉90°，若旋轉過程中OF與OA的夾角（圖2中的∠FOA）的正切的值為x，兩個矩形重疊部分的面積為y，求y與x的函數關系式；
（3）將圖1中的矩形ODEF繞點O逆時針旋轉一周，連接EC、EA，△ACE的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據相似多邊形面積的比等于相似比的平方求解即可；
（2）先求出矩形ODEF的邊長為1、

3

，再分①當0≤x≤

3

3

時重疊部分是直角三角形和②當x＜

3

3

是重疊部分是四邊形，矩形ODEF剩余部分是直角三角形兩種情況求解；
（3）旋轉一周，點E的軌跡是以點O為圓心以2為半徑的圓，所以△ACE的AC邊上的高就是點E到AC的距離，也就是AC到圓上的點的距離，又最大值和最小值，最大值為點O到AC的距離與圓的半徑的和，最小值為點O到AC的距離與圓的半徑的差，再利用三角形的面積公式求解即可．

解答：解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，
∴S_矩形ODEF=

1

16

S_矩形ABCO=

1

16

×4×4

3

=

3

；

（2）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4

3

，
∴OF=

3

，OD=1，
∴tan∠FOE=

3

3

，
①當0≤x≤

3

3

時，重疊部分是直角三角形，
y=

1

2

OF•OFtan∠FOA=

1

2

×

3

×

3

x=

3

2

x；
②當x＞

3

3

時，重疊部分是四邊形，
y=OD•OF-

1

2

OD•OD

1

tan∠FOA

=1×

3

-

1

2

×1×

1

x

=

3

-

1

2x

；

（3）存在．
∵OE=

OF2+OD2

=

3 2+12

=2，
所以點E的軌跡為以點O為圓心，以2為半徑的圓，
設點O到AC的距離為h，
AC=

AB2+BC2

=

42+(4 3 )2

=8，
∴8h=4×4

3

，
解得h=2

3

，
∴當點E到AC的距離為2

3

+2時，△ACE的面積有最大值，
當點E到AC的距離為2

3

-2時，△ACE的面積有最小值，
S_最大=

1

2

×8（2

3

+2）=8

3

+8，
S_最小=

1

2

×8（2

3

-2）=8

3

-8．

點評：本題綜合性較強，主要利用了相似多邊形的性質，分情況討論的思想，勾股定理，圓上的點到直線的距離的取值范圍，綜合考慮各知識點之間關系是解本題的關鍵．