Question

如圖1所示，直角梯形OABC的頂點C在x軸正半軸上，AB∥OC，∠ABC為直角，過點A、O作直線l，將直線l向右平移，設平移距離為t（t≥0），直角梯形OABC被直線l掃過的面積（圖中陰影部分）為s，s關t的函數圖象如圖2所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線．
（1）求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積；
（2）如圖3，矩形ODEF的兩邊OD、OF分別落在坐標軸上，且OD=4，OF=3，將矩形ODEF沿x軸的正半軸平行移動，設矩形ODEF的頂點O向右平移的距離為x（0＜x＜7），求矩形ODEF與梯形OABC重疊部分面積S與x的函數關系式．
（3）當平移距離x=______時，重疊部分面積S取最大值______．

Answer 1

解：（1）由圖2知，M點的坐標是（2，8）
∴由此判斷：AB=2，BC=4；
∵N點的橫坐標是4，NQ是平行于x軸的射線，
∴CO=4，
∴直角梯形OABC的面積為：（AB+OC）•BC=（2+4）×4=12；

（2）當0＜x≤2時，S=x²；
當2＜x≤3時，S=4x-4；
當3＜x≤4時，S=-x²+10x-13；
當4＜x≤5時，S=-x²+6x+3；
當5＜x≤7時，S=28-4x．

（3）當0＜x≤2時，x=2，S有最大值為4；
當2＜x≤3時，x=3，S有最大值為8；
當3＜x≤4時，x=3，S有最大值為11；
當4＜x≤5時，S＜11；
當5＜x≤7時，S＜8．
故當平移距離x=4時，重疊部分面積S取最大值11．
故答案為：4，11．
分析：（1）結合兩個圖形可知M點坐標為（2，8），從而得AB=2，BC=4；由N的橫坐標為4，即可得直角梯形的面積；
（2）依據題意將圖形平移，由于移動的距離不同，分重疊部分為三角形、梯形、五邊形和矩形等情況討論求解；
（3）根據一次函數和二次函數的增減性可知，平移距離為4時，重疊部分面積S取最大值．
點評：考查了二次函數綜合題，（1）要求學生的閱讀理解能力及靈活運用直角梯形、三角形面積等知識的能力；（2）（3）的常見錯誤：對數學思想方法（運動思想、分類思想）缺乏，“動”中求“靜”的思維方法不能掌握．在求解時不能很好地利用操作的過程去完成解答．