Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=20cm，BC=16cm，點D是AB邊的中點．點P是BC邊上的動點，以3cm/秒的速度從點B向點C運動；點Q是AC邊上的動點，同時從點C向點A運動．設運動時間為t cm/秒．
（1）如果點Q運動的速度與點P運動的速度相等．求證當運動時間t=2秒時，△DBP≌△PCQ．
（2）如果點Q運動的速度與點P運動的速度不相等，是否存在某一時刻t₀，使△DBP與△PCQ全等？若存在，求出t₀的值，并求此時點Q運動的速度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先表示出BP，根據PC=BC-BP，可得出答案；
（2）根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程=速度×時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度．

解答：（1）證明：當t=2秒時，CQ=BP=6cm，
∵AB=AC=20cm，BC=16cm，點D是AB邊的中點，
∴∠B=∠C，BD=10cm，CP=16cm-6cm=10cm=BD，
在△DBP和△PCQ中

BD=CP ∠B=∠C BP=CQ

∴△DBP≌△PCQ（SAS）．

（2）存在某一時刻t₀，使△DBP與△PCQ全等，
理由是：BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
∴BP=PC=8cm，CQ=BD=10cm，
∴點P，點Q運動的時間t=

BP

6

=

8

6

秒，
∴V_Q=

CQ

t

10

8 6

═7.5厘米/秒．

點評：此題考查了全等三角形的判定，主要運用了路程=速度×時間的公式，要求熟練運用全等三角形的判定和性質．