Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當四邊形ADCE是一個正方形時，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAD=∠DAC，∠MAE=∠CAE，求出∠DAE的度數，求出∠AEC=∠ADC=∠EAD=90°，根據矩形的判定判斷即可；
（2）求出AD=DC，得出∠ACD=∠DAC=45°，求出∠BAC=90°，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAE=∠CAE．
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=

1

2

∠MAC+

1

2

∠CAB=

1

2

×180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．

（2）證明：∵四邊形ADCE是正方形，
∴DC=AD，
∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴△ADC為等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
即△ABC的形狀是等腰直角三角形．

點評：本題考查了矩形性質，等腰直角三角形，正方形性質的應用，通過做此題培養了學生的推理能力，題目比較典型，難度適中．