Question

如圖，在△ABC中，M，N分別是AB，AC邊上一點，P是MN上一點，如果BM：AM=AN：CN=MP：NP，求證：S_△PBC=2S_△AMN．

Answer 1

分析：利用面積比等于相似比的平方求出三角形AMN的面積、三角形BMP的面積、三角形CNP的面積．再求出三角形PBC的面積．

解答：設(shè)BM：AM=AN：CN=MP：NP=n，
則AB：AM=n+1，AC：AN=

n+1

n

，
MN：NP=n+1，MN：MP=

n+1

n

設(shè)S_△AMN=1，∵∠MAC=∠BAC，
∴

S△ABC

S△AMN

=

AB•AC

AM•AN

=

(n+1)2

n

故S△ABC=

(n+1)2

n

又∠BMP與∠AMN互補(bǔ)，
∴

S△BMP

S△AMN

=

BM•MP

AM•MN

=

n2

n+1

故S△BMP=

n2

n+1

，同理可證：S△CNP=

1

n(n+1)

∴S△PBC=

(n+1)2

n

-

n2

n+1

-

1

n(n+1)

-1=2
故S_△PBC=2S_△AMN．

點評：考查了利用正弦定理計算相似三角形面積的能力．相似三角形面積之比等于相似比的平方．