Question

如圖，已知拋物線經過點A（-1，0），B（4，-5），C （0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線CD的解析式為y=x+b，將直線CD沿著y軸方向平移2個單位得直線AN，交x、y軸于點A、N．
①求直線AN的解析式；
②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以點P為圓心的圓同時與直線AN、y軸相切？若有，求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式即可得出答案；
（2）根據將點C（0，3）代入y=x+b，即可得出一次函數解析式；
（3）根據y=-x²+2x+3的對稱軸是X=1，得出直線y=x+1與對稱軸X=1的交點坐標是（1，2），再利用等腰直角三角形的性質求出．

解答：解：（1）∵拋物線經過點A（-1，0），B（4，-5），
C （0，3）．
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=-5 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x+3；

（2）將點C（0，3）代入y=x+b，
解得b=3，
所以直線AN的解析式y=x+1；

（3）y=-x²+2x+3的對稱軸是x=1，
直線y=x+1與對稱軸X=1的交點坐標是（1，2），依題意設p（1，y）．
當點p在直線y=x+1的下方（如圖2），
證明△MFP是等腰直角三角形后可得EP=FP=FM=1，
所以MP=

2

，所以

2

+y=2，即y=2-

2

，所以P點的坐標是（1，2-

2

）．
當點p在直線y=x+1的上方（如圖3），
證明△MFP是等腰直角三角形后可得EP=FP=FM=1，
所以MP=

2

，所以y=2+

2

，所以P點的坐標是（1，2+

2

）．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及求一次函數解析式和等腰直角三角形的性質等知識，利用數形結合進行分類討論是這部分考查重點同學們應重點掌握．