Question

如圖，在直角坐標系中，矩形的頂點與坐標原點重合，頂點在坐標軸上，，．動點從點出發，以的速度沿軸勻速向點運動，到達點即停止．設點運動的時間為．

（1）過點作對角線的垂線，垂足為點．求的長與時間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）在點運動過程中，當點關于直線的對稱點恰好落在對角線上時，求此時直線的函數解析式；

（3）探索：以三點為頂點的的面積能否達到矩形面積的？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）（3）不能，理由見解析

【解析】解：（1）在矩形中，

，，

．……………………1分

　　　　，．

　　　　，即，．……3分

　　　　當點運動到點時即停止運動，此時的最大值為．

　　　　所以，的取值范圍是．················ 4分

　　　　（2）當點關于直線的對稱點恰好在對角線上時，三點應在一條直線上（如答圖2）．……………………5分

　　　　，．

　　　　，

．

　　　　．點的坐標為．…………6分

　　　　設直線的函數解析式為．將點和點代入解析式，得解這個方程組，得

　　　　　此時直線的函數解析式是．········· 8分

（3）由（2）知，當時，三點在一條直線上，此時點　不構成三角形．

　　　　　故分兩種情況：

　　　　　（i）當時，點位于的內部（如答圖3）．

過點作，垂足為點，由

可得．

　　　　　

　　　　　．······· 10分

　　　　　若，則應有，即．

　　　　　此時，，所以該方程無實數根．

　　　　　所以，當時，以為頂點的的面積不能達到矩形面積的．    11分

　　　　　（ii）當時，點位于的外部．（如答圖4）

　　　　　此時．········ 12分

　　　　　若，則應有，即．

　　　　　解這個方程，得，（舍去）．

　　　　　由于，．

　　　　　而此時，所以也不符合題意，故舍去．

　　　　　所以，當時，以為頂點的的面積也不能達到矩形面積的．

　　綜上所述，以為頂點的的面積不能達到矩形面積的．

（1）找出三角形相似的條件，利用相似三角形的對應邊成比例，求出邊界值即可

       （2）用待定系數法，找出直線上兩點坐標即可，由于，則，利用相似三角形的對應邊成比例，求出點P的坐標

          （3）由于點是動點，以為頂點的的面積與點的位置有關，需分情況討論，當時，找不到的值使得，當時，三點在一條直線上，則點不構成三角形，當時，也找不到的值使得，因此以為頂點的的面積不能達到矩形面積的