Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC邊上的動點，設BP=x，若能在AC邊上找到一點Q，使∠BQP=90°，則x的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據已知首先找出BP取最小值時QO⊥AC，進而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，進而求出PB的取值范圍即可．
解答：解：過BP中點O，以BP為直徑作圓，
連接QO，當QO⊥AC時，QO最短，即BP最短，
∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△OQC，
∴=，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵BP=x，
∴QO=x，CO=4-x，
∴=，
解得：x=3，
當P與C重合時，BP=4，
∴BP=x的取值范圍是：3≤x≤4，
故答案為：3≤x≤4．
點評：此題主要考查了直線與圓的位置關系以及三角形的相似的性質與判定和勾股定理等知識，找出當QO⊥AC時，QO最短即BP最短，進而利用相似求出是解決問題的關鍵．