Question

【題目】如圖，已知二次函數與軸交于、兩點（點在點左），與軸交于點，連接，點為二次函數圖象上的動點．

（1）若的面積為3，求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，若在軸上存在點，使得，求點的坐標；

（3）若為對稱軸右側拋物線上的動點，直線交軸于點，直線交軸于點，判斷的值是否為定值，若是，求出定值，若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（-2，）或（6，）；（3）的值為定值

【解析】

（1）令y=0，求出點A和點B的坐標，得到AB和OC，再根據△ABC的面積求出a的值；

（2）分當點F在y軸正半軸時，當點F在y軸負半軸兩種情況，過點P作y軸垂線于點Q，設點P坐標為（x，），證明△PQC∽△COB，通過比例關系求出點P的橫坐標，從而得出結果；

（3）設PA的解析式為：y=kx+k，PB的解析式為：y=mx-3m，分別和拋物線表達式聯立，利用根與系數的關系得出點P橫坐標的兩種表示方法，再根據函數表達式得出點C、D、E的坐標，得到EC和DE的長，從而證明為定值.

解：（1）令y=0，則，

解得：x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0），

∴AB=4，OC=-3a，

∴S△ABC=，

解得a=，

∴拋物線的表達式為；

（2） 如圖1、2，當點F在y軸正半軸時，

過點P作y軸垂線于點Q，

∵∠PCF=∠ABC，∠PQC=∠BOC，

∴△PQC∽△COB，

∴，

設點P坐標為（x，），

∴圖1中，，解得：x=-2或0（舍），

圖2中，，解得：x=6或0（舍），

代入拋物線表達式中可得：

點P的坐標為（-2，）或（6，）；

如圖3，當點F在y軸負半軸時，過點P作y軸垂線于點Q，

同理可知：△PQC∽△COB，

則，設點P坐標為（x，），

∴，解得：x=-2或0，

由于此時點P只能在y軸右側，所以x≠-2，

綜上：點P的坐標為（-2，）或（6，）；

（3）∵A（-1，0），B（3，0），

設PA的解析式為：y=kx+k，PB的解析式為：y=mx-3m，

聯立：，，

可得：，，

∴點P的橫坐標為或，且=，

∴m-k=4a，即k=m-4a，

E（0，k），D（0，-3m），C（0，-3a），

∴EC=k+3a，DE=k+3m，

∴，

故的值為定值.