Question

（2009•資陽）如圖，已知四邊形ABCD、AEFG均為正方形，∠BAG=α（0°＜α＜180°）．
（1）求證：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）設正方形ABCD、AEFG的邊長分別是3和2，線段BD、DE、EG、GB所圍成封閉圖形的面積為S．當α變化時，指出S的最大值及相應的α值．（直接寫出結果，不必說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質可得到△DAG≌△BAE（SAS），且AD、AB夾角為90°，所以△BAE是△DAG順時針旋轉90°得到的．
（2）當α=90°時，點E、點G分別在BA、DA的延長線上，形成的圖形是一個等腰梯形BDEG，且面積最大，可以知道∠BAG=90°．
解答：（1）證明：
證法一：∵四邊形ABCD，AEFG均為正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，（2分）
∴將AD、AG分別繞點A按順時針方向旋轉90°，它們恰好分別與AB、AE重合．
即點D與點B重合，點G與點E重合．（3分）
∴DG繞點A順時針旋轉90°與BE重合，（5分）
∴BE=DG，且BE⊥DG．（6分）
證法二：∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，（2分）
∴∠DAB+α=∠GAE+α，
∴∠DAG=∠BAE，
①當α≠90°時，由前知△DAG≌△BAE（SAS），（2分）
∴BE=DG，（3分）
∴∠ADG=∠ABE，（4分）
設直線DG分別與直線BA、BE交于點M、N，
又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°，
∴∠ABE+∠BMN=90°，（5分）
∴∠BND=90°，
∴BE⊥DG，（6分）
②當α=90°時，點E、點G分別在BA、DA的延長線上，顯然BE=DG，且BE⊥DG．
（說明：未考慮α=90°的情形不扣分）

（2）解：當α=90°時，點E、點G分別在BA、DA的延長線上，形成的圖形是一個等腰梯形BDEG，
通過觀察比較可知，當α=90°時，S有最大值，且S=×3×2×2+×2×2+×3×3=．（7分）
當S取得最大值時，α=90°．（8分）
點評：本題利用了正方形的性質，旋轉的判定性質，以及有一個公共點的兩個正方形的對角線形成的圖形，其面積的最大值的問題．