Question

（2009•資陽）如圖，已知Rt△ABC的直角邊AC=24，斜邊AB=25，一個以點P為圓心、半徑為1的圓在△ABC內部沿順時針方向滾動，且運動過程中⊙P一直保持與△ABC的邊相切，當點P第一次回到它的初始位置時所經過路徑的長度是（ ）

A．
B．25
C．
D．56

Answer 1

【答案】分析：Rt△ABC的直角邊AC=24，斜邊AB=25，則另一直角邊為7，圓心所經過的路徑是一個與三角形相似的三角形，設三邊分別為7a，24a，25a，則從圖中我們可以看出三個梯形面積加上小三角形面積等于大三角形面積．三個梯形的高都是圓的半徑1，所以可列方程（24a+24）÷2+（7a+7）÷2+（25a+25）÷2+7a×24a÷2=24×7÷2，解之求得a的值，從而求得所構成的三角形的三邊，即可求出周長=．
解答：解：設三邊分別為7a，24a，25a，
則：（24a+24）÷2+（7a+7）÷2+（25a+25）÷2+7a×24a÷2=24×7÷2，
解得：a=，
∴構成的三角形的三邊分別是，16，，
∴周長=+16=．
故選C．
點評：本題的關鍵是根據三個梯形面積加上小三角形面積等于大三角形面積，設出未知數，列出方程求所構成的三角形的三邊長．