Question

△ABC的內切圓切邊AB于點P，內切圓半徑r=21，且AP=23，PB=27，則△ABC的周長是________．

Answer 1

345
分析：設BC、AC邊上的切點為Q、R，AB邊上的高為CD，設CQ=x，AD=y，高CD=z，則BD=50-y，AC=23+x，BC=27+x，在直角三角形ADC中，由勾股定理：得y²+z²=（23+x）²，在直角三角形BDC中，由勾股定理：（50-y）²+z²=（27+x）²，由三角形面積公式得：[2（23+27）+2x]×21=50z，三個未知數，三個方程，可以求解．
解答：解：如圖，
設BC、AC邊上的切點為Q、R，AB邊上的高為CD，
設CQ=x，AD=y，高CD=z，則BD=50-y，AC=23+x，BC=27+x，
在直角三角形ADC中，由勾股定理：得y²+z²=（23+x）²，①
在直角三角形BDC中，由勾股定理：（50-y）²+z²=（27+x）²，②
由三角形面積公式得：[23+27+23+x+27+x]×21=×50z，③
由①得x²-y²-z²+46x+529=0④，
由②得x²-y²-z²+54x+100y+729-2500=0④，
由③得42x-50z+2100=0⑥，
整理得x=，
∴△ABC的周長為：2（23+27）+2x=100+245=345，
故答案為345．
點評：本題考查了三角形的內切圓和內心，注：三角形的面積公式：S=p•r，其中p表示三角形的周長，r表示內切圓的半徑．