Question

如圖①、②、③是兩個半徑都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合狀態沿水平方向運動到互相外切過程中的三個位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，分別連接O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB．
（1）如圖②，當∠AO₁B=120°時，求兩圓重疊部分圖形的周長l；
（2）設∠AO₁B的度數為x，兩圓重疊部分圖形的周長為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）由（2），若y=2π，則線段O₂A所在的直線與⊙O₁有何位置關系，為什么？除此之外，它們還有其它的位置關系，寫出其它位置關系時x的取值范圍．（獎勵提示：如果你還能解決下列問題，將酌情另加1～5分，并計入總分．）
在原題的條件下，設∠AO₁B的度數為2n，可以發現有些圖形的面積S也隨∠AO₁B變化而變化，試求出其中一個S與n的關系式，并寫出n的取值范圍．

Answer 1

解：（1）如圖②由題意知
解法一：依對稱性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l=2×[×（2π×2）]=，
解法二：∵O₁A=O₁B=O₂A=O₂B，
∴四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l=2×的長=；

（2）由（1）知菱形AO₁BO₂中∠AO₂B=∠AO₁B，且度數都是x，
∴，
得y=x（0≤x≤180）；

（3）若y=2π，則線段O₂A所在直線與圓O₁相切，
因為y=2π，由（2）知，
解得x=90，
∴∠AO₁B=90°，知菱形AO₁BO₂是正方形，
∴∠O₁AO₂=90°，即O₂A⊥O₁A，
而O₁A是圓O₁的半徑，且點A為O₁A的外端，
∴線段O₂A所在的直線與圓O₁相切．
還有線段O₂A所在的直線與圓O₁相交，此時0≤x＜90和90＜x≤180，
如：扇形O₁AB的面積：S=n（0≤n≤90）；
△O₁AB的面積：S=4sinn°cosn°（0≤n≤90）；
半重疊部分圖形的面積：S=-4sinn°cosn°（0≤n≤90）．
分析：（1）根據圓的對稱性，該圖形的周長是一條弧長的2倍，根據弧長公式計算；
（2）只需把圓心角換成x°即可計算；
（3）根據（2）中的關系式，計算出x的值，根據四邊形的形狀即可分析判定直線和圓的位置關系．
點評：熟練運用弧長公式進行計算．熟悉切線的判定方法，能夠根據直線和圓相切進一步討論其它情況．