Question

25、如圖a，△ABC和△CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C，連接AF和BE．
（1）線段AF和BE有怎樣的大小關系？請證明你的結論；
（2）將圖a中的△CEF繞點C旋轉一定的角度，得到圖b，這時（1）中的結論還成立嗎？作出判斷并說明理由；
（3）若將圖a中的△ABC繞點C旋轉一定的角度，請你畫出一個變換后的圖形（草圖即可），（1）中的結論還成立嗎？作出判斷不必說明理由；
（4）根據以上證明、說理、畫圖，歸納你的發現．

Answer 1

分析：（1）根據題中所給的等邊三角形的條件，兩對邊對應相等，有一個角都等于60°，變換這個60°的對應角，利用SAS證AF和BE所在的三角形全等；
（2）方法同（1），利用SAS求證兩個三角形全等，進而求解；
（3）方法同（1）利用SAS證AF和BE所在的三角形全等；
（4）根據前面得到的結論，AF和BE所在的三角形總是全等，那么AF恒等于BE．

解答：解：（1）AF=BE．
證明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等邊三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60，
∴△AFC≌△BEC．
∴AF=BE．

（2）成立．理由：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等邊三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60度，
∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB，
即∠ACF=∠BCE．∴△AFC≌△BEC，
∴AF=BE．

（3）此處圖形不惟一，僅舉幾例．
如圖，（1）中的結論仍成立．

（4）根據以上證明、說明、畫圖，歸納如下：
如圖a，大小不等的等邊三角形ABC和等邊三角形CEF有且僅有一個公共頂點C，
則以點C為旋轉中心，任意旋轉其中一個三角形，都有AF=BE．

點評：證兩條線段相等，通常是證這兩條線段所在的兩個三角形全等，類似的題，證明方法基本不變．