Question

【題目】如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y＝ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+m過頂點C和點B．

（I）求點B的坐標；

（Ⅱ）求二次函數y＝ax2+b（a≠0）的解析式；

（Ⅲ）拋物線y＝ax2+b（a≠0）上是否存在點M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）（3，0）；（Ⅱ）y＝；（Ⅲ）（3，6）或（，﹣2）．

【解析】

（Ⅰ）根據點C（0，﹣3），直線y＝x+m過點C和點B，可以求得直線的解析式，從而可以求得點B的坐標；

（Ⅱ）根據點B和點C的坐標可以求得二次函數的解析式；

（Ⅲ）根據題意，可以畫出相應的圖形，然后根據二次函數的性質和銳角三角函數可以求得點M的坐標．

解：（Ⅰ）∵點C（0，﹣3），直線y＝x+m過點C和點B，

∴﹣3＝0+m，得m＝﹣3，

∴y＝x﹣3，

當y＝0時，0＝x﹣3，得x＝3，

∴點B的坐標為（3，0）；

（Ⅱ）∵拋物線y＝ax2+b過點B（3，0），點C（0，﹣3），

∴，得，

∴拋物線的解析式為y＝；

（Ⅲ）拋物線y＝ax2+b（a≠0）上存在點M，使得∠MCB＝15°，

∵點B（3，0），點C（0，﹣3），

∴OC＝OB＝3，

∵∠BOC＝90°，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

當∠M1CB＝15°時，設點M1的坐標為（m1，），

則∠M1CO＝30°，

∴，

解得，m1＝3或m1＝0（舍去），

當m1＝3時，﹣3＝6，

即點M1的坐標為（3，6）；

當M2CB＝15°時，設點M2的坐標為（m2，），

則∠M2CO＝60°，

∴，

解得，m2＝或m2＝0（舍去），

當m2＝時，＝﹣2，

即點M2的坐標為（，﹣2）；

由上可得，點M的坐標為（3，6）或（，﹣2）．